Tìm số nguyên m để phương trình nhận nghiệm nguyên?

Question

x^2-m(m+1)x+3m-1=0

Answer 1

Câu trả lời hay nhất - Do người sử dụng bình chọn

bài toán này khá rắc rối, tốn khá nhiều giấy mực, bạn đọc kỉ, chổ nào không hiểu hoặc tôi giải nhầm thì ý kiến lại ngay nhé.

* m>0: m(m+1) > 0; 3m-1 >0 => x1,x2 > 0.
(x1-1) (x2-1)= x1x2-x1-x2+1 = 3m-1-m(m+1) + 1 = 1 - (m-1)^2 <= 1
=> x1 hoặc x2 = 1 ; hoặc x1-1 = x2-1 =1
=> m = 2 hoặc m = 1.
m = 2, x1=1,x2=5
m = 1, không tồn tại x nguyên.

* m = 0: x = ±1
* m < -7:
ta có ∆ = (m(m+1))² - 4(3m-1) < [m(m+1)+1]²
<=> [m(m+1)]² - 12m + 4 < [m(m+1)]² + 2m(m+1) +1
<=> 2m² + 14m > 3
<=> 2m(m+7) >3
<=> (-2m)(-m-7) > 3
đúng vì (-2m) > 14, (-m-7) >=1
vậy
∆ = (m(m+1))² - 4(3m-1) < [m(m+1)+1]²
dễ thấy -4(3m-1) > 0
=> [m(m+1)]² < ∆ < [m(m+1)+1]²
=> ∆ không là số chính phương
=> theo bổ đề ở cuối bài ta có pt đả cho trong trường hợp này ko có nghiệm nguyên.

* -7 <= m <= -1:
thử từng m, giải ra x xem nguyên hay không
=> m = -1 , -4 là nhận đc !

kết luận : m thuộc { -4, -1, 0, 2 }

-------
bổ đề
chứng minh rằng pt bậc 2 hệ số nguyên nếu có nghiệm nguyên thì ∆ là số chính phương.
--
giả sử pt có nghiệm nguyên, thì 2 nghiệm đều nguyên
x1=(-b+√∆)/2a
=> √∆ = b+2a.x1 nguyên
=> ∆ chính phương.