Annie Sally đã hỏi trong Khoa học Tự nhiênToán học · 7 năm trước

Help me thanks for helps?

Cho hai parabol có phương trình y^2=2px và y=ax^2+bx+c. Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó nằm trên một đường tròn.

1 Câu trả lời

Xếp hạng
  • Ẩn danh
    7 năm trước
    Câu trả lời yêu thích

    Để 2 đồ thị cắt nhau tại 4 điểm thì chúng phải là 2 parabol, tức a, p ≠ 0

    Ta thử tìm d i e sao cho (x - e)² + (y - d)² = r²

    <=> x² - 2ex + e² + y² - 2dy + d² = r² <=> x² - 2ex + e² + 2px - 2d(ax² + bx + c) + d² = r²

    <=> (1 - 2ad)x² + (2p - 2bd - 2e)x + d² + e² - 2cd = r²

    Để VT là hằng số (= r²) ta giải hệ:

    { 1 - 2ad = 0

    { 2p - 2bd - 2e = 0 ♦

    => d = 1 / 2a. Thay vào ♦ có e = p - bd = p - b / 2a

    Chọn d = 1 / 2a, e = p - b / 2a có:

    (x - e)² + (y - d)² = d² + e² - 2cd = 1 / 4a² + p² - pb / a + (b² - 4ac) / 4a²

    Xét đồ thị 2 hàm y² = 2px và y = ax² + bx + c ta thấy:

    1. Trục đối xứng của y = ax² + bx + c là x = - b / 2a. Nếu 2 đồ thị cắt nhau tại 4 điểm thì p và -b / 2a phải cùng dấu, tức p * (-b / 2a) = - pb / 2a > 0 => - pb / a > 0

    2. Nếu 2 đồ thị cắt nhau tại 4 điểm thì đồ thị y = ax² + bx + c phải cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt (đk cần) => (b² - 4ac) > 0

    => 1 / 4a² + p² - pb / a + (b² - 4ac) / 4a² > 0

    Đặt 1 / 4a² + p² - pb / a + (b² - 4ac) / 4a² = r² ta có

    (x - e)² + (y - d)² = r²

    => các điểm giao của 2 đồ thị nằm trên đt tâm O(e, d) và bán kính bằng r

    (Các) Nguồn: Nguyễn Minh Đức 16/2/1998
    • Commenter avatarĐăng nhập để trả lời câu hỏi
Bạn vẫn có câu hỏi? Hãy hỏi ngay để nhận câu trả lời.