Ẩn danh
Ẩn danh đã hỏi trong Khoa học Tự nhiênToán học · 1 thập kỷ trước

Làm cách nào để chứng minh căn 3 là số vô ty Zi?

2 Câu trả lời

Xếp hạng
  • 1 thập kỷ trước
    Câu trả lời yêu thích

    phản chứng:

    Giả sử √3 là số hữu tỉ => tồn tại m, n là hai số nguyên tố cùng nhau

    sao cho √3 = m/n

    => 3 = m²/n² => n² = m²/3 (là số nguyên)

    => m² chia hết cho 3 mà 3 là số nguyên tố

    => m chia hết cho 3 (*)

    đặt m = 3p => m² = 9p², thay vào trên ta có:

    n² = m²/3 = 9p²/3 = 3p²

    => p² = n²/3 là số nguyên => n² chia hết cho 3

    và vì 3 nguyên tố => n chia hết cho 3 (**)

    từ (*) và (**) thấy m và n đều chia hết cho 3 => mâu thuẩn với gt m, n nguyên tố cùng nhau

    Vậy √3 là số vô tỉ

    **mở rộng 1: với p là số nguyên tố thì √p là số vô tỉ

    cm hoàn toàn tương tự như trên

    **mở rộng 2: nếu q không là số chính phương thì √q là số vô tỉ

    cm: ta phân tich q thành tích các thừa số nguyên tố

    q = (k1)^n.(k2)^m.....

    vì q ko là số chính phương nên tồn tại một thừa số nguyên tố có số mũ lẽ chẳng hạn là p^(2n+1)

    √q = k.p^n.√p

    do p là số nguyên tố nên theo trên có √p là số vô tỉ

    => √q là số vô tỉ

    **mở típ .... tự nghĩ nhé ...

    • Commenter avatarĐăng nhập để trả lời câu hỏi
  • 1 thập kỷ trước

    giả sử căn 3 là số hữu tỉ

    => căn 3 dc viết dưới dưới dạng phân số tối giản là m/n

    => căn 3 ^2 = (m/n)^2 hay 3n^2=m^2(1)

    (1) -> m^2 chia hết 3 , mà 3 là số nguyên tố -> m chia hết h

    đặt m=3k ( k thuộc Z) ta có' m^2 = 9k^2(2)

    (1)+(2) => 3n^2=9k^2 <=> n^2=3k^2 (3)

    (3) => n^2 chia hết 3 <=> n chia hết 3

    m và n cùng chi hết cho 3 => m/n chưa tối giản

    => giả sử sai

    => căn 3 là số vô tỉ

    chúc vui

    • Commenter avatarĐăng nhập để trả lời câu hỏi
Bạn vẫn có câu hỏi? Hãy hỏi ngay để nhận câu trả lời.