Ẩn danh
Ẩn danh đã hỏi trong Khoa học Tự nhiênToán học · 1 thập kỷ trước

Cho tam giác ABC C/m : a) sin^2 A + sin^2 B + sin^2 C =< 9/4?

b) cos 2A + cos 2B + cos 2C >= -3/2

2 Câu trả lời

Xếp hạng
  • 1 thập kỷ trước
    Câu trả lời yêu thích

    a) đặt P = 9/4 - sin²A - sin²B - sin²C

    2P = 9/2 - 2sin²A - 2sin²B - 2sin²C = 9/2 - (1-cos2A) - (1-cos2B) - 2(1-cos²C)

    2P = 2cos²C + cos2A + cos2B + 1/2

    4P = 4cos²(A+B) + 4cos(A+B).cos(A-B) + 1

    4P = [2cos(A+B) + cos(A-B)]² + 1 - cos²(A-B)

    4P = [2cos(A+B) + cos(A-B)]² + sin²(A-B) ≥ 0

    => P ≥ 0 => đpcm

    dấu "=" khi A = B = C = 60o (tự giải cụ thể dấu "=" )

    b) cần cm: cos2A + cos2B + cos2C ≥ -3/2

    <=> 1 - 2sin²A + 1- 2sin²B + 1- 2sin²C ≥ -3/2

    <=> sin²A + sin²B + sin²C ≤ (3+3/2)/2 = 9/4 bđt đúng do câu a

    -----------------

    (Các) Nguồn: __|trituyet|__
    • Commenter avatarĐăng nhập để trả lời câu hỏi
  • Domino
    Lv 4
    1 thập kỷ trước

    HCT giải rồi tôi đưa ra thêm cho em cách giải khác để em tham khảo thêm.

    a/. Ta có:

    sin²A + sin²B + sin²C = 1 - 1/2.(cos2A + cos2B) + sin²C

    = 1 - cos(A + B).cos(A - B) + sin²C

    = 1 + cosC.cos(A - B) + 1 - cos²C

    = - cos²C + cos(A - B).cosC - 1/4cos²(A - B) + 1/4.cos²(A - B) + 2

    = - [cosC - 1/2cos.(A - B)]² + 1/4 - 1/4sin²(A - B) + 2

    = - [cosC - 1/2cos.(A - B)]² - 1/4sin²(A - B) + 9/4 ≤ 9/4

    Dấu đẳng thức xảy ra <=> cosC = 1/2.cos(A - B) và sin(A - B) = 0

    <=> A = B và cosC = 1/2 <=> A = B = C = π/3

    Tam giác ABC đều.

    b/.

    Ta có

    cos2A + cos2B + cos2C = 2cos(A + B).cos(A - B) + 2cos²C - 1

    = 2cos²C - 2cosC,cos(A - B) - 1

    = 2[cos²C - cosC.cos(A - B) + 1/4cos²(A - B)] - 1/2cos²(A - B) - 1

    = 2[cosC - 1/2cos(A - B)]² - 1/2 + 1/2sin²(A - B) - 1

    = 2[cosC - 1/2cos(A - B)]² + 1/2sin²(A - B) - 3/2 ≥ - 3/2

    Dấu " = " xảy ra giống bài 1.

    Tam giác ABC đều

    Ngoài ra còn có các cách giải khác em tìm sách Toán để đọc.

    • Commenter avatarĐăng nhập để trả lời câu hỏi
Bạn vẫn có câu hỏi? Hãy hỏi ngay để nhận câu trả lời.